fake cesenatico

[bestiedda]

trovare tutte le terne $ $(k,y,n)\in \mathbb N $ che verificano l'equazione $ $3^k=y^n+1 $.


Piuttosto facile, astenersi esperti

[pak-man]

Allora, proviamo:
$ y^n=3^k-1 $

Se $ k=0 $ allora $ y=0 $ e $ n\neq0 $.

Se $ k=1 $ allora $ y=2 $ e $ n=1 $

Se k è pari
$ y^n=(3^{k/2}+1)(3^{k/2}-1) $
I due fattori sono due numeri che hanno differenza 2, l'unico caso possibile, l'unico caso possibile è $ k=2, y=2, n=3 $.

Se k è dispari
$ y^n=2(3^{k-1}+3^{k-2}+\ldots+3+1) $
Poiché $ k-1 $ è pari, tra parentesi c'è un numero dispari di addendi. Questi sono tutti dispari, quindi anche la loro somma è dispari.
Ma allora $ y^n=2\cdot\mbox{dispari} $, e non ci sono soluzioni.

Quindi le soluzioni sono (con $ n\neq0 $):
$ (k,y,n)=\{(0,0,n);(1,2,1);(2,2,3)\} $

Giusto?

[bestiedda]

Y non dev'essere dispari per forza

Se k è pari
$ y^n=(3^{k/2}+1)(3^{k/2}-1) $
I due fattori sono due numeri che hanno differenza 2, l'unico caso possibile, l'unico caso possibile è $ k=2, y=2, n=3 $.

puoi chiarire meglio questo passaggio?

[antosecret]

Se non ho le traveggole se poni n=1 hai che $ y=3^k-1 $, e quindi ci sono anche le soluzioni $ (k,3^k-1,1) $

[antosecret]

Y non dev'essere dispari per forza

Di più: y è pari per la congruenza modulo 2 dall'equazione di partenza.

[mod_2]

OT

Y non dev'essere dispari per forza

Di più: y è pari per la congruenza modulo 2 dall'equazione di partenza.

+

ma allora non sono inutile

/OT

[antosecret]

[pak-man]

Se non ho le traveggole se poni n=1 hai che $ y=3^k-1 $, e quindi ci sono anche le soluzioni $ (k,3^k-1,1) $

già, direi che hai ragione. Vediamo chi è il prossimo a trovare qualche mancanza nella mia soluzione!:P

[Davide90]

A me sembra che vada bene, l'unica cosa da correggere è

Se k è dispari
$ y^n=2(3^{k-1}+3^{k-2}+\ldots+3+1) $
Poiché k-1 è pari, tra parentesi c'è un numero dispari di addendi. Questi sono tutti dispari, quindi anche la loro somma è dispari.
Ma allora $ y^n=2\cdot\mbox{dispari} $, e non ci sono soluzioni.

da questo passaggio deduci che $ y^n $ contiene il fattore 2 alla potenza 1, dunque $ n=1 $ da cui si ha la soluzione $ (k,3^k-1,1) $ come diceva antosecret.
Spero di non sbagliarmi, ma direi che così vada bene...

[antosecret]

A me sembra che vada bene, l'unica cosa da correggere è

Se k è dispari
$ y^n=2(3^{k-1}+3^{k-2}+\ldots+3+1) $
Poiché k-1 è pari, tra parentesi c'è un numero dispari di addendi. Questi sono tutti dispari, quindi anche la loro somma è dispari.
Ma allora $ y^n=2\cdot\mbox{dispari} $, e non ci sono soluzioni.

da questo passaggio deduci che $ y^n $ contiene il fattore 2 alla potenza 1, dunque $ n=1 $ da cui si ha la soluzione $ (k,3^k-1,1) $ come diceva antosecret.
Spero di non sbagliarmi, ma direi che così vada bene...

In questo modo però trovi le soluzioni nella forma $ (k,3^k-1,1) $ solo per k dispari. Da dove escono quelle per k pari??

In oltre anche io non ho molto chiaro il passaggio di cui parlava bestiedda:

Se k è pari
y^n=(3^{k/2}+1)(3^{k/2}-1)
I due fattori sono due numeri che hanno differenza 2, l'unico caso possibile, l'unico caso possibile è k=2, y=2, n=3.

puoi chiarire meglio questo passaggio?

In effetti, anche se k è pari ponendo n= 1 si può fare lo stesso ragionamento di prima.

[pak-man]

A me sembra che vada bene, l'unica cosa da correggere è

Se k è dispari
$ y^n=2(3^{k-1}+3^{k-2}+\ldots+3+1) $
Poiché k-1 è pari, tra parentesi c'è un numero dispari di addendi. Questi sono tutti dispari, quindi anche la loro somma è dispari.
Ma allora $ y^n=2\cdot\mbox{dispari} $, e non ci sono soluzioni.

da questo passaggio deduci che $ y^n $ contiene il fattore 2 alla potenza 1, dunque $ n=1 $ da cui si ha la soluzione $ (k,3^k-1,1) $ come diceva antosecret.
Spero di non sbagliarmi, ma direi che così vada bene...

Da questo passaggio deduci che y è una potenza di 2 (perché c'è un fattore 2), e quindi se la roba dispari è maggiore di 1 non ci sono soluzioni, se è =1 allora si è nel caso k=1, y=2, n=1 (che può essere incluso nel caso $ (k, 3^k-1,1) $)

Se k è pari
$ y^n=(3^{k/2}+1)(3^{k/2}-1) $
I due fattori sono due numeri che hanno differenza 2, l'unico caso possibile, l'unico caso possibile è k=2, y=2, n=3.

puoi chiarire meglio questo passaggio?

In effetti, anche se k è pari ponendo n= 1 si può fare lo stesso ragionamento di prima.

Possiamo scrivere l'equazione come sistema:
$ \left\{\begin{array}{lll}y^a=3^{k/2}+1\\y^b=3^{k/2}-1\\a+b=n\end{array}\right. $
Sottraendo membro a membro le prime due equazioni si ottiene
$ y^a-y^b=2 $
cioè $ y^a $ e $ y^b $ sono due potenze dello stesso numero che hanno differenza 2. Poiché y è pari, l'unico caso possibile è con $ y^a=4 $ e $ y^b=2 $, che porta alla soluzione $ (2,2,3) $

[antosecret]

Possiamo scrivere l'equazione come sistema:
$ \left\{\begin{array}{lll}y^a=3^{k/2}+1\\y^b=3^{k/2}-1\\a+b=n\end{array}\right. $
Sottraendo membro a membro le prime due equazioni si ottiene
$ y^a-y^b=2 $
cioè $ y^a $ e $ y^b $ sono due potenze dello stesso numero che hanno differenza 2. Poiché y è pari, l'unico caso possibile è con $ y^a=4 $ e $ y^b=2 $, che porta alla soluzione $ (2,2,3) $

Scusa se ancora non sono convinto: spero di non dire sciocchezze ma così non stai implicitamente supponendo che y sia primo?

Secondo me dovrebbe essere:
$ \left\{\begin{array}{lll}p=3^{k/2}+1\\q=3^{k/2}-1\\ p \cdot q=y^n\end{array}\right. $

[pak-man]

mi sa che hai ragione! Devo riguardare...

[SkZ]

e forse hai supposto anche che $ $a+b>1 $
ricordiamo che, se $ $k=2j $, $ $3^k-1=1(3^m-1)(3^m+1) $
ergo posso anche avere $ $y^a=1 $, che porta al caso n=1

[bestiedda]

Scusa se ancora non sono convinto: spero di non dire sciocchezze ma così non stai implicitamente supponendo che y sia primo?

Secondo me dovrebbe essere:
$ \left\{\begin{array}{lll}p=3^{k/2}+1\\q=3^{k/2}-1\\ p \cdot q=y^n\end{array}\right. $

eh già...

UUUUUP!!!!