jordan ha scritto:Problema 65. Own. Per ogni intero positivo n sia $ \pi(n) $ il numero di primi minori o uguali a n, $ \sigma_0(n) $ il numero dei divisori di n e $ s(n) $ la somma delle cifre di n. Siano fissati a,b,c interi positivi e tre polinomi non costanti p(x),q(x),r(x) a coefficienti non negativi. Mostrare che l'equazione $ \displaystyle \pi^a(p(n))= s^b(q(n))+\sigma_0^c(r(n)) $ ammette solo un numero finito di soluzioni.
Mi dispiace rovinare le 300 risposte e di dover proporre una soluzione sborona, ma così la staffetta va avanti (se qualcuno ha una soluzione più decente la posti)
Partiamo da alcune stime (prese da ScienzeMatematiche):
1) per ogni $ \displaystyle~\theta \in \mathbb{R}^+ $ esiste $ \displaystyle~C_\theta \in \mathbb{R}^+ $ tale che $ \displaystyle~\sigma_0(n) < C_\theta \cdot n^\theta $ per ogni $ \displaystyle~n \in \mathbb{N}^+ $ (v.
qui)
2) esiste una costante assoluta $ \displaystyle~\displaystyle C \ge \frac{2}{9} $ tale che $ \displaystyle~\displaystyle \pi(n) \ge C\frac{n}{\ln n} $, per ogni intero $ \displaystyle~n \ge 2 $ (v.
qui)
3) per ogni $ \displaystyle~\theta \in \mathbb{R}^+ $ vale $ \displaystyle~s(n)<n^\theta $ definitivamente (cioè esiste $ \displaystyle~\overline x $ tale che $ \displaystyle~x\ge\overline x\to s(n)<n^\theta $
Dimostrazione: il numero di cifre di n è $ \displaystyle~\left\lfloor\log_{10}(n)+1\rfr $, quindi $ \displaystyle~s(n)\le 9\left\lfloor\log_{10}(n)+1\rfr\le 9(\log_{10}(n)+1) $ e $ \displaystyle~9\log_{10}(n)+9<n^\theta $ definitivamente (v.
qui).
Passiamo al problema. Siano $ \displaystyle~t,u,v>0 $ i gradi dei polinomi $ \displaystyle~p(x),q(x),r(x) $ rispettivamente.
Esistono delle costanti $ \displaystyle~c_p,C_p,C_q,C_r\in\mathbb{R}^+ $ tali che (definitivamente)
$ \displaystyle~c_pn^t\le p(n)\le C_pn^t,\ q(n)\le C_qn^u,\ r(n)\le C_rn^v $ (v.
qui)
Per n abbastanza grande vale $ \displaystyle~\pi^a(p(n))\ge\pi(p(n))\ge C\frac{p(n)}{\ln n}\ge\frac{Cc_pn^t}{\ln C_p+t\ln n}\ge\frac{Cc_pn}{\ln C_p+t\ln n} $
Inoltre, detto $ \displaystyle~m=\max(bu,cv) $ e fissato un $ \displaystyle~\theta<\frac{1}{m} $, definitivamente abbiamo
$ \displaystyle~s^b(q(n))+\sigma_0^c(r(n))\le [q(n)]^{\theta b}+C_\theta^c [r(n)]^{\theta c} $$ \displaystyle~\le (C_q n^u)^{\theta b}+C_\theta^c (C_r n^v)^{\theta c}\le kn^{\theta m} $ con $ \displaystyle~k=C_q^{\theta b}+C_\theta^c C_r^{\theta c} $
Ma per n sufficientemente grande $ \displaystyle~kn^{\theta m}<\frac{Cc_pn}{\ln C_p+t\ln n} $ (diretta applicazione di
questo), da cui $ \displaystyle~RHS\le kn^{\theta m}<\frac{Cc_pn}{\ln C_p+t\ln n}\le LHS $, quindi definitivamente l'equazione è falsa.
