Divisibilità (fresco fresco dalla... Bocconi!)

[giove]

Questo è un problema della gara a squadre della Bocconi di stamattina

Determinare tutte le coppie $ (a,b) $ di interi positivi, con $ a\geq b $, per cui $ \displaystyle \frac{b^3+1}{ab-1} $ è un numero intero.

[darkcrystal]

b=1 dà qualche soluzione particolare, i.e. (3,1); (2,1)
Ora, notiamo che $ ab-1 | b^3+1 \Leftrightarrow ab-1 | b^3+ab=b(b^2+a) $, e che $ (ab-1,b)=1 $, perciò $ ab-1|b^2+a $. Ma allora il divisore è "grosso" rispetto al dividendo: in particolare, $ 2(ab-1)>b^2+a $ non appena $ b \geq 2 $ (teniamo conto che per ipotesi a non è minore di b), cosa che abbiamo supposto. Perciò se $ b \geq 2 $ dev'essere $ b^2+a=ab-1 $, che significa $ a=\frac{b^2+1}{b-1}=b+1+\frac{2}{b-1} $, cioè $ b-1|2 $, cioè $ b \in \{2,3} $ che si controllano a mano.

Bel problema!

Ciau

[Xamog]

Questo è un problema della gara a squadre della Bocconi di stamattina

A me invece sembra tanto IMO 1994-4

[Barbara]

b=1
Ora, notiamo che $ ab-1 | b^3+1 \Leftrightarrow ab-1 | b^3+ab=b(b^2+a) $,

Non capisco questo passaggio..me lo potresti spiegare??

Grazie!! Ciao!!

[darkcrystal]

Certo! Allora, abbiamo che $ ab-1 | b^3+1 $ e contemporaneamente $ ab-1 | ab-1 $ (in effetti è ovvio che un numero divida se stesso!); ma sappiamo anche che se un certo numero z divide x e divide y, allora divide anche x+y. Ora, nel nostro caso, ponendo $ z=ab-1 $, $ x=b^3+1 $ e $ y=ab-1 $ abbiamo che $ ab-1= z | x+y = b^3+1+ab-1 = b^3+ab $, ed i passaggi sono invertibili

Meglio?

[Barbara]

Sì!!

Wow..ma è un metodo standard o te lo sei inventato sul momento??

Grazie!!

[darkcrystal]

No, no, non mi sono inventato nulla, figurati! Diciamo solo che quel metodo (che si, è abbastanza standard) mi tentava perchè saltavano abbastanza all'occhio il +1 e il -1 che si annullavano

Ciao!

[giove]

A me invece sembra tanto IMO 1994-4

Che storia, non me n'ero accorto!
Ma guarda un po' dove vanno a pescare i problemi quelli della Bocconi...

Ah, aggiungo che quella gara l'abbiamo vinta noi

[giove]

Uhm, in realtà l'IMO 1994/4 è un po' diverso, quindi rilancio:

Determinare tutte le coppie $ (a,b) $ di interi positivi tali che $ \displaystyle \frac{b^3+1}{ab-1} $ sia intero.

In pratica manca la condizione $ a \geq b $.