equation...

[fede90]

Trovare tutte le coppie di interi $ $(x,y)$ $ che soddisfano $ $1+x^2y=x^2+2xy+2x+y$ $

[mod_2]

Supponendo x diverso da 0 (che tra altro è la soluzione banale), che cosa succede se dividiamo tutto per x?

[AndBand89]

La soluzione è bruttissima, scusa fede...trova l'errore, c'è di sicuro, la fisica mi sta dando al cervello(che matematicamente parlando non era chissà che neanche prima)...
Riscriamo l'equazione come x^2*y - 2xy - y=x^2+2x-1, da cui y(x^2 - 2x - 1)=x^2 + 2x - 1. Con passaggi algebrici otteniamo (x^2 + 1)(y - 1)=2x(y + 1), cioè (y + 1)/(y - 1)=(x^2 + 1)/2x, che può essere scritta come (k+2)/k=(x^2 + 1)/2x con k=y-1.
Prendiamo prima in considerazione i valori positivi di k e x. (k+2)/k=3 per k=1 e =2 per k=2, decrescendo al crescere di n. (x^2 + 1)/2x cresce al crescere di x,e per x=4 vale 17/8 > 2x. Le uniche coppie di valori per cui (k+2)/k=(x^2 + 1)/2x sono (3,3) e (8,2), per cui le coppie (y, x) sono (4,3) e (9,2).
Per i valori negativi di k e x abbiamo che f(-x)=-f(x), mentre (k+2)/k > -k, per cui l'unica soluzione per k e x negativi è la coppia (-1, -1), da cui l'unica coppia (y, x) che è (0, -1).
Da questa analisi sono stati eliminati per C.E. i valori x=0 e y=1, che rappresenatno comunque una soluzione immediata.

[AndBand89]

Ah, ho letto il suggerimento di mod...tremendamente più bella come soluzione...e vabbè e penso sia anche più corretta, mi sa che mi è scappato qualcosa...

[String]

Con passaggi algebrici otteniamo (x^2 + 1)(y - 1)=2x(y + 1), cioè (y + 1)/(y - 1)=(x^2 + 1)/2x, che può essere scritta come (k+2)/k=(x^2 + 1)/2x con k=y-1.

Dovrebbe essere $ x^2-1 $

[mod_2]

Ah, ho letto il suggerimento di mod...tremendamente più bella come soluzione...e vabbè e penso sia anche più corretta, mi sa che mi è scappato qualcosa...

Dai, visto che nessuno ha ancora seguito la mia strada, qualcuno vuole provare? Così potrò vedere se fate la stessa conclusione che ho fatto io.
Vi garantisco che non è così difficile
y-1=kx con k intero, e quindi sostituire!

[AndBand89]

Con passaggi algebrici otteniamo (x^2 + 1)(y - 1)=2x(y + 1), cioè (y + 1)/(y - 1)=(x^2 + 1)/2x, che può essere scritta come (k+2)/k=(x^2 + 1)/2x con k=y-1.

Dovrebbe essere $ x^2-1 $

Eccolo

[String]

Vediamo un pò...spero di interpretare correttamente il tuo suggerimento...
Allora, ponendo $ x=0 $ e dividendo tutto per $ x $ si ottiene
$ \displaystyle \frac {1}{x}+xy=x+2y+2+ \frac {y}{x} $ ovvero
$ \displaystyle (y-1)( \frac{x^2-1}{x})-2(y+1)=0 $
Essendo sia x che y interi, affinchè l'equazione sia verificata, deve succedere o che $ x^2-1=kx $ o che $ y-1=kx $.
Il primo caso è soddisfatto solo se $ x=1 $. Quindi una prima coppia di valori, oltre a quella (0,1) è (1,-1).
Per il secondo caso sostituiamo a y nell'equazione iniziale il valore $ y=kx+1 $. Si ottiene:
$ kx^2-2kx-4-k=0 $
Le soluzioni di quest'ultima sono:
$ x_{1}= \displaystyle \frac {k+ \sqrt {2k(k+2)}}{k} $ e
$ x_2= \displaystyle \frac {k- \sqrt {2k(k+2)}}{k} $.
(Come si fai più o meno?)
Il prodotto sotto radice è un quadrato perfetto se k=2, quindi le due soluzioni sono:
$ x=3 $ e $ x=-1 $. Le altre coppie (x,y) sono quindi (3,7) e (-1,-1). Spero sia giusto..

[Pigkappa]

Step 1.) Si ricava $ \displaystyle y=\frac{(x+1)^2-2}{(x-1)^2-2} $.
Step 2.) Per comodità si pone $ \displaystyle z=(x-1) $.
Step 3.) Si fa in modo che il grado del numeratore sia minore di quello del denominatore.
Step 4.) Si fanno i pochi casi a mano che restano.
Step 5.) Si verificano le soluzioni trovate: (x,y) = (0,1), (1,-1), (2,-7), (3,7).

[g(n)]

Penso che la soluzione di Pig sia quella più breve (piccolo dettaglio: manca la soluzione (-1,-1) ).

Altrimenti invece che considerare l'equazione lineare nell'incognita y, la si può considerare quadratica nell'incognita x (tanto per complicarsi la vita) ed a questo punto porre il delta uguale ad un quadrato perfetto, il che dovrebbe portare alla diofantea
$ 2y^2+2=n^2 $
che non è troppo difficile e può essere un buon esercizio

[SkZ]

oppure si vede che se
$ $y>1 \Rightarrow 1\leq\frac{y+1}{y-1}\leq3$ $
$ $y<1 \Rightarrow -1\leq\frac{y+1}{y-1}\leq1$ $
da cui si evince che $ $x\in\{-2,-1,1,2,3,4,5,6\}$ $
paio di conti

[mod_2]

Posto anche la mia che è abbastanza simile a quella di String

$ $1+x^2y=x^2+2xy+2x+y$ $

Soluzione banale (0,1)

Da questo punto in poi pongo $ $x \not = 0$ $ e divido tutto per $ $x^2$ $

$ $\frac{1}{x}+xy=x+2y+2+\frac{y}{x}$ $

Da ciò $ $y-1$ $ è un multiplo di x e quindi pongo $ $y-1=kx$ $ con $ $k$ $ intero, e sostituisco

$ $1+x^2(kx+1)=x^2+2x(kx+1)+2x+kx+1$ $

facendo i conti

$ $x(kx^2-2kx-4-k)=0$ $

Siccome $ $x$ $ è diverso da $ $0$ $ allora dobbiamo trovare le soluzioni di $ $kx^2-2kx-4-k=0$ $

Applicando la formula ridotta

$ $x_i=\frac{+k \pm \sqrt{2k^2+4k}}{k}$ $

$ $2k^2+4k$ $ è quindi un quadrato perfetto e deve essere un multiplo di k

$ $2k^2+4k=z^2k^2$ $ con z intera

Dividiamo tutto per $ $k^2$ $

$ $2+\frac{4}{k}=z^2$ $

da ciò k deve essere un divisore di 4: $ $\pm 1$ $, $ $\pm 2$ $, $ $\pm 4$ $

$ $2k^2+4k$ $ in modulo 4 si vede che per essere un quadrato k deve essere pari e quindi ci rimangono solo 4 casi a mano: $ $k=\pm 2$ $, $ $k=\pm 4$ $

Sostituendo ora i valori di k nella formula risolutiva troviamo che i possibili valori di x sono: 1, -1, 3, 2, 0

e quindi le soluzioni sono:

(1, -1); (-1, -1); (3, 7); (2, -7); (0, 1)