Carica in equilibrio all'interno di un triangolo

[Davide90]

Mi sono posto questo quesito e non sono riuscito a risolverlo...
So che è un problema di fisica ma si riduce ad un problema geometrico quindi secondo me si può postare qui, altrimenti i mod spostino pure.

Determinare se, date tre cariche positive nel piano, è sempre possibile trovare un punto dove una carica positiva rimanga in equilibrio statico.

[Alex90]

Allora:

Siano $ A (a_x,a_y) $ e così via i 3 punti dove si trovano le cariche.

Affinchè un'eventuale quarta carica sia in equilibrio occore che il campo elettrico risultante nel punto $ P (p_x,p_y) $ dove si trova sia nullo.

$ \displaystyle E_p = E_1 + E_2 + E_3 = 0 \Rightarrow \sum \frac{1}{4\pi\episolon_0}\frac{q_i}{{d_i}^2} = 0 $

$ \displaystyle \frac{q}{4\pi\episolon_0}\left (\frac{1}{d_a^2} + \frac{1}{d_b^2} + \frac{1}{d_c^2} \right ) = 0 \Rightarrow \frac{1}{d_a^2} + \frac{1}{d_b^2} + \frac{1}{d_c^2} = 0 $

ora andrebbe considerato il verso dei campi elettrici però non sono troppo sicuro del come vada fatto...per ora è giusta?

[SkZ]

purtroppo no, dato che i campi sono vettori. Tu hai provato a cercare il punto dove la somma dei moduli e' nulla, dimostrando ovviamente che solo all'infinito questo accade.
In teoria, se esiste, dovrebbe stare in uno dei punti peculiari, come il baricentro.

in questo caso conviene usare la formula $ $\vec{E}=k\frac{\vec{r}}{r^3} $

ricordate che le variabili qui sono 4, non 6

[Agi_90]

ma... dovresti sommare i vettori, in questo modo stai sommando i moduli?

bu ieri sera ho pensato a una dimostrazione, ma non so quanto sia corretta:

Allora chiamiamo i tre punti $ ~A $, $ ~B $, $ ~C $, con cariche $ ~q_A $, $ ~ q_B $, $ ~ q_C $. Ora facciamo che wlog $ ~A $ è il punto più in alto, $ ~B $ quello più a sinistra e C quello più a destra. Tracciamo una retta parallela all'asse delle x che passa per $ ~A $ e che passa per il più basso tra $ ~B $ e C (wlog facciamo che questo è $ ~B $), poi due rette parallele all'asse delle $ ~y $ una che passa per $ ~B $ e una che passa per C. Ora tracciamo un'altra retta più in basso delle tre cariche parallela all'asse delle $ ~x $ e una retta parallela a $ ~y $ più a sinistra. chiamiamo le intersezioni $ ~E $, $ ~F $, $ ~G $, $ ~H $ come nel disegno. Bene dopo queste noiose costruzioni, consideriamo i punti $ ~E $, e $ ~F $. Definiamo la funzione $ ~f(x) $ come la funzione che associa ogni punto della retta $ ~EF $ con la componente parallela all'asse delle $ ~x $ del vettore risultante dalle tre cariche(con segno: verso destra positivo, verso sinistra negativo). Questa funzione è continua ( ) Perchè? Perchè in realtà $ ~f(x) $ è la somma di coulomb(?) applicato tre volte pesati con i coseni degli angoli (non mi fate scrivere la formula) quindi tutte funzioni continue. Ora questa funzione assume valore positivo nel punto $ ~F $(le cariche infatti sono tutte a sinistra di quel punto per come abbiamo costruito il punto $ ~F $) e negativo nel punto $ ~E $(tutte a destra). Quindi per il teorema dell'esistenza degli zeri, questa funzione ha uno zero tra $ ~E $ e $ ~F $. Che vuol dire? che ci sarà una retta parallela all'asse $ ~y $ che avrà sempre la componente $ ~x $ dei vettori pari a 0. Ma se facciamo lo stesso ragionamento per l'asse $ ~y $, otteniamo che esiste una retta parallela a $ ~x $ con le componenti parallele a $ ~y $ tutte 0. Ma quindi l'intersezione di queste due rette è il punto cercato...

Non ne sono tanto convinto in effetti, spero che ci sia qualcuno tanto coraggioso da arrivare in fondo...

EDIT: mi ero scordato la figura e non avevo visto l'intervento di SkZ sorry

[fph]

Forse sto dicendo fesserie, ma non basta:
1) restringere la ricerca all'interno del triangolo T che ha per vertici le cariche
2) invocare il santo nome di Weierstrass per dire che il potenziale ammette un minimo all'interno di T
3) fare qualche ragionamento su come sono piazzati i vettori per dire che questo minimo non può stare sul bordo

[SkZ]

se c'e' e' all'interno del triangolo (a voi dimostrarlo).

se abbiamo un triangolo equilatero, il punto esiste. Stessa cosa, se non sbaglio, con quello isoscele (provato a fare il conto ma mi trovo un'eq di 5 grado).

Da un punto di vista si puo' partire a ragionarci partendo da 2 punti e aggiungendo il terzo per capire dove deve spostarsi la carica per stare in equilibrio.

edit: sbagliavo, le variabili delle posizioni sono 3

[Anér]

$ |\overrightarrow{v_A}|=\frac{kq_A}{|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{P}|^2} \overrightarrow{v_A}= \frac{\overrightarrow{A}-\overrightarrow{P}}{|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{P}|}\frac{kq_A}{|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{P}|^2}=\frac{(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{P})kq_A}{|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{P}|^3} \overrightarrow{v_A}= \frac{kq_A(x_A-x_P; y_A-y_P)}{\sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}^3} \sum_{cyc} \overrightarrow{v_A} =0 $

A questo punto basta risolvere l'equazione e si dovrebbero trovare le coppie ordinate (x;y) che vanno bene. Eppure mi sembra strano che ci siano tanti punti. C'è qualche errore?