Chiarimenti su una diseguaglianza

[Zorro_93]

Salve! In un libro ho trovato questa diseguaglianza da dimostrare : $ $(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2 \ge \frac{25}{2}$ $ con $ $x+y=1$ $, ho guardato la soluzione, che non ho capito, che dice: $ (x+\frac{1}{x})^2 $ è convessa.
A naso credo si riferisca all'unica diseguaglianza che sfrutta la convessità come ipotesi che stava nel capitolo dell'esercizio, e cioè Jensen. Ma anche guardando cosa dice la diseguaglianza di Jensen non mi è chiaro. Qualcuno mi potrebbe illuminare?

P.S. A Cesenatico può capitare una cosa del genere?

Grazie

[dario2994]

Chiamo $ $f(x)=(x+\frac 1 x)^2 $ questa secondo il tuo libro è convessa in 0,1 quindi per Jensen vale:
$ f(x)+f(y)\ge 2f(\frac{x+y}2)=\frac{25}2 $
Che è la tesi, se non sono stato chiaro chiedi ;)

p.s. non penso che un esercizio del genere sarebbe messo a cese:
1 è banale conoscendo jensen
2 jensen non è tra le cose "richieste a Cesenatico"
3 mi sembra difficilotta senza conoscere Jensen (o perlomeno ci vuole una buona idea)

[Zorro_93]

Chiarissimo, grazie mille!

Ora, se mi permetti, già che ci sono: per cesenatico bastano disuguaglianze triangolari e quelle fra medie? Tutto quello che c'è oltre è inutile?

[dario2994]

Nulla è inutile.
Comunque direi che quelle sono "richieste" Soprattuto AM-GM.

[Zorro_93]

Ok! Grazie

[Maioc92]

in realtà non è necessario usare jensen, in questo problema ti bastano le disuguaglianze più note tra medie (se vuoi prova per esercizio). In ogni caso sarebbe bene specificare che le variabili sono reali positive

[Zorro_93]

in realtà non è necessario usare jensen, in questo problema ti bastano le disuguaglianze più note tra medie (se vuoi prova per esercizio). In ogni caso sarebbe bene specificare che le variabili sono reali positive

Mi potresti dire come?

[Zorro_93]

ah no... forse ho capito:

Sfrutto la diseguaglianza tra media quadratica e media aritmetica, $ $QM\ge AM$ $. Quindi $ $\sqrt{\frac{(x+1/x)^2+(y+1/y)^2}2} \ge \frac{1+\frac{1}{xy}}2 \ge 5/2$ $, poichè $ \frac{x+y}{xy}\le 4 $

giusto?

[Maioc92]

ah no... forse ho capito:

Sfrutto la diseguaglianza tra media quadratica e media aritmetica, $ $QM\ge AM$ $. Quindi $ $\sqrt{\frac{(x+1/x)^2+(y+1/y)^2}2} \ge \frac{1+\frac{1}{xy}}2 \ge 5/2$ $, poichè $ \frac{x+y}{xy}\le 4 $

giusto?

l'idea di usare QM-AM è giusta, poi però scrivi che $ \frac{x+y}{xy}\le 4 $, sbagliando il verso, ma credo sia solo una piccola svista. Magari giusto per non lasciare buchi scrivi un qualsiasi motivo per cui quella disuguaglianza è vera, ad esempio AM-GM o AM-HM.
Comunque si, va bene

[Zorro_93]

Si si era una svista

$ $\frac{x+y}{xy}=\frac1{xy} = \frac1{x(1-x)} \ge 4$ $

infatti $ 1\ge 4x - 4x^2 $, $ (2x-1)^2\ge 0 $ è sempre vera