$n^{2006}+n+1$ primo

[LukasEta]

Determinare per quali valori naturali di $n$ il numero $n^{2006}+n+1$ è primo.

[amatrix92]

L'unica soluzione si ha per $ n=1 $ perchè quel polinomio è divisibile per $ n^2+n+1 $ e per un altro polinomio che è formato da un numero dispari di potenze di n che si altrnano il segno + e - partendo da + e che quindi per $ n=1 $ vale $ 1 $. Domani cerco di farmi venire in mente per dimostrare quello che ho scritto che mi rendo conto non essere una dimostrazione, se qualcuno ci riesce prima di me posti pure perchè per ora non mi è venuto in mente niente se non questa bella generalizzazione che ho congetturato e sarebbe da dimostrare:

$ \displaystyle \frac { n^{3k+2} + n +1 }{n^2+n+1} \in \mathbb N \ \ \forall \ n, \ k \in \mathbb N $

[Veluca]

Sia $\lambda$ una radice di $n^2+n+1$. Allora $\lambda^3=1$, quindi detto $p(n)=n^{3k+2}+n+1$ si ha $p(\lambda)=\lambda^{3k+2}+\lambda+1=\lambda^2+\lambda+1=0$, quindi le radici di $n^2+n+1$ sono anche radici di $n^{3k+2}+n+1$, ovvero $n^2+n+1|n^{3k+2}+n+1$ (come polinomi). D'altra parte per $n\gt1$ e $k\not=0$ sicuramente $n^{3k+2}+n+1>n^2+n+1$ e quindi $n^{3k+2}+n+1=(n^2+n+1)q(n)$, $q(n)>1$, ovvero è composto.
Per $n=1$, $p(n)=3$ che va bene.
Per $k=0$ ci si riduce a trovare i numeri n tali che $n^2+n+1$ sia primo.. cosa che al momento non saprei fare ci penserò..

[Anér]

Guarda che il problema è finito, perché tu sai che k=668. O forse sono io che non ho capito che volevi rispondere a un'altra domanda; penso (ma non ne sono sicuro) che sia una congettura aperta l'esistenza di infiniti primi della forma $ n^2+n+1 $.

[amatrix92]

Ganzo, bella l'idea che $ \lambda ^ 3 = 1 $. Sul caso $ k=0 $ mi sembra parecchio tosto, temo ( bho ) che generi infiniti primi.

[LukasEta]

Sia $\lambda$ una radice di $n^2+n+1$. Allora $\lambda^3=1$

Come mai?? Potete spiegarmelo? Forse non vedo una cosa ovvia ma al momento non capisco come si arrivi a dirlo xD

[amatrix92]

Tranquillo ci ho messo anche io un po' a capirlo xD Perchè $ n^3-1 = (n-1)(n^2+n+1) $

[Veluca]

Guarda che il problema è finito, perché tu sai che k=668. O forse sono io che non ho capito che volevi rispondere a un'altra domanda; penso (ma non ne sono sicuro) che sia una congettura aperta l'esistenza di infiniti primi della forma $ n^2+n+1 $.

Sì il problema originale è finito, ma volevo vedere la generalizzazione "per quali n $n^{3k+2}+n+1$ è primo" .. anche se da qualche prova & la tua risposta, mi son convinto che quantomeno non sia facile il caso k=0 e che si presentino primi un po' a caso..

[LukasEta]

Tranquillo ci ho messo anche io un po' a capirlo xD Perchè $ n^3-1 = (n-1)(n^2+n+1) $

Figo! Grazie

[jordan]

.. penso (ma non ne sono sicuro) che sia una congettura aperta l'esistenza di infiniti primi della forma $ n^2+n+1 $.

A meno che non sia stato risolto molto di recente, sì è ancora aperto

[<enigma>]

.. penso (ma non ne sono sicuro) che sia una congettura aperta l'esistenza di infiniti primi della forma $ n^2+n+1 $.

A meno che non sia stato risolto molto di recente, sì è ancora aperto

Mi pare però che con metodi di tipo Chen si dimostri che anche tale polinomio è semiprimo infinite volte, o sbaglio?