Funzionale con l'esponente

[Mist]

• $\cdot$ trovare tutte le funzioni strettamente monotone (cioè strettamente crescenti o strettamente decrescenti) $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ che verificano l'equazione $$f(x+f(y)) = f(x)+y$$
  
  $\cdot$ dimostrare che per ogni intero $n>1$ non esistono $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tali che $$f(x+f(y)) = f(x)+y^n$$

[exodd]

(parte comune ad entrambe)
ponendo x=0 troviamo l'iniettività (e la suriettività)
ponendo y=0, e tenendo conto dell'iniettività, troviamo f(0)=0

1° funzionale)
dato che f(f(x))=x, poniamo y=f(y) e troviamo Cauchy
grazie alla monotonia, poniamo f(x)=ax+b. Verificando, troviamo b=0, a=1 o a=-1
Verifichiamo il mistone tramite f(x)=-x e f(y)=y

2° funzionale)
sappiamo che f(f(x))=x^n
poniamo y=1, e troviamo f(x+f(1))=f(x)+1
poniamo x=1, e troviamo f(1+f(y))=f(1)+y^n
sostituendo le ultime due, viene (x+f(1))^n=f(1)+x^n
poniamo x=0, e troviamo f(1)^n=f(1)
vista l'iniettività, allora f(1)=1
quindi f(1+x)=f(x)+1 e ciò vuol dire che f(m)=m per m naturale
ma f(1+f(m))=1+m^n
implica m+1=1+m^n per ogni m naturale
Assurdo

[Mist]

Very good