Fattoriale - Bound sulla valutazione piadica

[Gottinger95]

Dato \( n\) naturale e \(p\) primo, dimostrare che \(n!\) contiene al più \(\displaystyle \lfloor \frac{n-1}{p-1} \rfloor \) fattori p. In simboli:

\( \displaystyle V_p(n!) \leq \lfloor \frac{n-1}{p-1} \rfloor\)

Inoltre vale il segno di uguale se e solo se \(n = p^k \).
Ultima domanda: è un buon bound? Ossia qual'è l'ordine dell'errore della disuguaglianza?

EDIT: Per i più volenterosi, dimostrare che vale anche \( \displaystyle V_p(n!) \geq \frac{n-p}{p-1} - log_p(n) \)

Una conseguenza interessante è che possiamo avere un buond sui fattoriali. Sia \(\displaystyle U(p,n)= \lfloor \frac{n-1}{p-1} \rfloor\) e \( \displaystyle L(p,n) = \frac{n-p}{p-1} - log_p(n)\).

\(\displaystyle \prod_{p\leq n}{p^{L(p,n)}} \leq n! \leq \prod_{p\leq n}{p^{U(p,n)}}\)

[snake]

Dati \(p\) primo e \(k\) naturale, dimostrare che:

\(p^k \mid [k(p-1) +1]!\)

Buon divertimento!

se p=3 e k=2, risulta

$3^2 \mid [2(3-1) +1]!$

cioè $9 \mid 120$

che è falsa. Anche altri tentativi non funzionano. Ho capito male il testo?

[Gottinger95]

No, ho sbagliato io, scusami xD

[snake]

No, ho sbagliato io, scusami xD

ehehe vai tranquillo