Interi e Combinatoria

[Catraga]

Dimostrare, senza usare i logaritmi la disequazione y^x<=2^(xy) per gli interi x,y (positivi)
<BR>
<BR>Sia G un grafo planare 3-completo (ogni vertice ha valenza 3); si dia un colore ad ogni arco in modo che da un vertice non escano due archi con lo stesso colore.
<BR>a)Dimostrare (o confutare), che esiste una sola colorazione siffatta per ogni grafo.
<BR>b)Dimostrare che esiste per ogni colorazione esiste un ciclo composto solo da archi di due colori
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Catraga il 03-02-2004 18:01 ]

[ReKaio]

<font color=white>2^xy >= y^x
<BR>
<BR>(2^y)^{^x} >= y^x
<BR>
<BR>x è intero>=1, quindi nessun problema
<BR>
<BR>2^y >= y
<BR>
<BR>y=1 --> 2¹ >= 1, vera
<BR>
<BR>2^k >= k
<BR>2^k+1 >= k+1 2*2^k >= k+1 2^k>=k>=1
<BR>
<BR>quindi 2^y >= y e 2^xy >= y^x</font>
<BR>
<BR>i grafi li odio ^^ <font color=white>_{_{_{(cordialmente)}}}</font>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 03-02-2004 18:59 ]

[Catraga]

Come non ti piacciono i grafi, sono cosi\' carini... e poi questi problemi non sono cosi\' difficili.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[bh3u4m]

Considerando che
<BR>
<BR>1<=2^1
<BR>2<=2^2
<BR>3<=2^3
<BR>4<=2^4
<BR>5<=2^5
<BR>...
<BR>n<=2^n (con n € Naturali)
<BR>
<BR>(sarà sempre verificata perché alla destra il valore aumenta ogni volta di un numero maggiore di 1, alla sinistra aumenta sempre di 1)
<BR>
<BR>si parte dalla disequazione
<BR>
<BR>y<=2^y
<BR>(y appartiene naturali)
<BR>
<BR>elevando alla x (intero positivo) si ottiene
<BR>
<BR>y^x<=(2^y)^x
<BR>
<BR>equivalente a
<BR>
<BR>y^x<=2^(xy)

[bh3u4m]

Buona fortuna per chi ha voglia di dimostrare i grafi!

[Catraga]

Non capisco tutta questa avversione per i grafi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

[ReKaio]

Il b) dei grafi è facile, l\'a) dovrei pensarci