euler

[piazza88]

dimostrare
$ e^{x+iy}=e^{x}(cosy+isiny) $

[MdF]

$ $ e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}$ $
dove $ $ e^{iy}$ $ è la forma esponenziale del numero complesso $ $ (\cos y + i \sin y)$ $, q.e.d.

[pi_greco_quadro]

Incidente di percorso

[EvaristeG]

La domanda non ha senso : prima di aver studiato analisi complessa, quella formula è LA DEFINIZIONE di esponenziale di un numero complesso : la serie di Taylor, fino a prova contraria, voi la conoscete solo sui numeri reali, non sapete cosa sia la derivata di una funzione da C in C. Anche perchè, se quella non è la definizione di esponenziale complesso, qual è? Cioè, come definisci $ e^{x+iy} $?
La definizione si da di solito tramite una serie di Taylor "copiata" dal caso reale, ma, ripeto, prima di aver fatto un po' di analisi complessa non avete modo di sapere cosa voglia dire "serie di Taylor" per una funzione complessa, nè quando questa serie converga e per quali numeri complessi z converga.

[pi_greco_quadro]

Allora..

$ \displaystyle e^{x+iy}=e^xe^{iy} $

Sfruttiamo a questo punto la serie di Taylor per calcolare il valore di $ \displaystyle e^{iy}=\sum_n \frac{(iy)^n}{n!} $

svolgendo i calcoli e ricordando che $ \displaystyle \cos y=\sum_k (-1)^k\frac{y^{2k}}{(2k)!} $ e $ \displaystyle \sin y=\sum_k (-1)^k\frac{y^{2k+1}}{(2k+1)!} $

Otteniamo appunto $ \displaystyle e^{iy}=(\cos y+ i\sin y) $

da cui segue la tesi... così si spiega anche il passaggio di MdF

[MdF]

Non avevo esplicitato perché si trattava (banalmente, per chi li studia) di una diversa notazione di un numero complesso. (Come se, per giustificare $ $ 2 \cdot 3$ $, dicessi che è perché $ $ 2+2+2$ $, sommato 3 volte.)