il numero e

[piazza88]

data la successione $ b_{n}=(1+1/n)^{n+1} $ , dimostrare che è decrescente.

[giulia87]

consideri la funzione di cui la successione è una restrizione e ne calcoli la derivata.Per x positivo la derivatà è negativa quindi la funzione è decrescente e sarà decrescente anche la successione.

[ma_go]

problema: per calcolare quella derivata, ti serve sapere già che cos'è $ e $ e come si comporta, quando per sapere che ha tutte le belle proprietà rispetto alla derivazione ti serve quel limite (o giù di lì, insomma).
ok, questo non dice che la soluzione sia sbagliata, semplicemente ce ne dev'essere una "più a monte"...

[MdF]

problema: per calcolare quella derivata, ti serve sapere già che cos'è $ $ e $ $ e come si comporta, quando per sapere che ha tutte le belle proprietà rispetto alla derivazione ti serve quel limite (o giù di lì, insomma).

Il bello è che la successione fornita, o meglio il suo limite $ $ \lim_{x \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n $ $, è proprio la definizione algebrica del numero $ $ e $ $! È una cosa così primitiva che può essere usata senza problemi per la dimostrazione.
Altrimenti, se si vuole andare più a fondo, si sviluppano brutalmente i termini della successione $ $ \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^{n+1} $ $:
$ $ +\infty > 4 > 3,375 > 3,16 > 3,05 > ... > e $ $
Il terzo metodo è chiedere a un purista di spiegarti un metodo, o a un matematico di dimostrartelo.

[ttommy8488]

nn ho capito bene la domanda. se devi provare che essa e' decrescente per gli interi positivi fallo per induzione.

b1 > b2 poiche' 4 > 27/8

bn > bn+1

poiche' dopo un po di semplice algebra puoi ridurre la disuguaglianza a

(n+1)^(2n+3) > (n+2)^(n+2) * n^(n+1) che e' vera per una conseguenza della disuguaglianza tra media geometrica ed aritmetica ( il prodotto e' massimo quando i fattori sono uguali e la somma di essi e' fissata , in questo caso 2n^2 +5n + 3).

quindi per induzione sara decrescente per ogni intero positivo.

[mistergiovax]

Se non sbaglio si può anche dimostrare la decrescenza di $ b_{n} $ con la diseguaglianza di Bernoulli ponendo $ b_{n}>b_{n+1} $ e svolgendo qualche calcolo.

[SkZ]

lo applichi a $ $\frac{b_n}{b_{n+1}}$ $, poni l'esponente comune a n+2 e il gioco e' fatto