Sempre per rendervi partecipi del mio ripassone di Fisica!
Calcolare l'energia potenziale gravitazione di una piramide a base quadrata di altezza $ h $, lato di base $ b $ e massa $ m $.
Quanto lavoro per una piramide!!!
Quanto lavoro per una piramide!!!
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Confermo il risultato di luiz.
$ $E=\frac{mgh}{4} $
Perdonatemi ma non ho voglia di postare tutti i conti, ma per chi volesse avere un'idea di come si arriva a questo risultato, guardate questo problema sns 2004 molto simile, discusso qua viewtopic.php?t=6216
$ $E=\frac{mgh}{4} $
Perdonatemi ma non ho voglia di postare tutti i conti, ma per chi volesse avere un'idea di come si arriva a questo risultato, guardate questo problema sns 2004 molto simile, discusso qua viewtopic.php?t=6216
Beh allora l'energia potenziale richiesta è data da
$ \displaystyle E=\int_0^{H} {\rho h g\ } dV $ dove $ $\rho $ è la densità del materiale e $ $H $ l'altezza della piramide.
Ora vogliamo esprimere $ $dV $ (cioè il volume di una sezione sottilissima posta a una distanza $ $h $ dal vertice) in funzione di $ $h $ e $ $dh $
Esiste un teorema che dice che la sezione di una piramide con un piano parallelo alla sua base e che dista meno da essa meno dell'altezza è un poligono simile a quello della base; quindi il rapporto tra le loro aree è uguale al quadrato del rapporto delle distanze dal vertice della piramide dai loro piani.
Se $ $B $ è l'area di base, $ $b $ è l'area della sezione, $ $H_t $ l'altezza della piramide e $ $H $ la distanza della sezione dalla base (e quindi $ $H_t-H $ è la distanza della sezione dal vertice) abbiamo che: $ \displaystyle \frac{b}{B}=\frac{(H_t-H)^2}{H_t^2} $
Inoltre, siccome stiamo considerando una sezione sottilissima (il suo spessore $ $dh \rightarrow 0 $), il suo volume è approssimabile a quello di un prisma e quindi $ \displaystyle dV=b\cdot dh=\frac {B (H_t-H)^2}{H_t^2} dh $
Spero di essere stato chiaro...
$ \displaystyle E=\int_0^{H} {\rho h g\ } dV $ dove $ $\rho $ è la densità del materiale e $ $H $ l'altezza della piramide.
Ora vogliamo esprimere $ $dV $ (cioè il volume di una sezione sottilissima posta a una distanza $ $h $ dal vertice) in funzione di $ $h $ e $ $dh $
Esiste un teorema che dice che la sezione di una piramide con un piano parallelo alla sua base e che dista meno da essa meno dell'altezza è un poligono simile a quello della base; quindi il rapporto tra le loro aree è uguale al quadrato del rapporto delle distanze dal vertice della piramide dai loro piani.
Se $ $B $ è l'area di base, $ $b $ è l'area della sezione, $ $H_t $ l'altezza della piramide e $ $H $ la distanza della sezione dalla base (e quindi $ $H_t-H $ è la distanza della sezione dal vertice) abbiamo che: $ \displaystyle \frac{b}{B}=\frac{(H_t-H)^2}{H_t^2} $
Inoltre, siccome stiamo considerando una sezione sottilissima (il suo spessore $ $dh \rightarrow 0 $), il suo volume è approssimabile a quello di un prisma e quindi $ \displaystyle dV=b\cdot dh=\frac {B (H_t-H)^2}{H_t^2} dh $
Spero di essere stato chiaro...