OliForum Matematico

Sempre per rendervi partecipi del mio ripassone di Fisica!

Calcolare l'energia potenziale gravitazione di una piramide a base quadrata di altezza $ h $, lato di base $ b $ e massa $ m $.

a me viene:

E=mgh/4

possibile?

ciao

Confermo il risultato di luiz.

$ $E=\frac{mgh}{4} $

Perdonatemi ma non ho voglia di postare tutti i conti, ma per chi volesse avere un'idea di come si arriva a questo risultato, guardate questo problema sns 2004 molto simile, discusso qua viewtopic.php?t=6216

viewtopic.php?t=6216

nel link c è il calcolo della superficie della base del prisma che non ho capito potreste spiegarlo?$ b=\frac{B(H_t-H)^2}{H_t^2} $

Beh allora l'energia potenziale richiesta è data da

$ \displaystyle E=\int_0^{H} {\rho h g\ } dV $ dove $ $\rho $ è la densità del materiale e $ $H $ l'altezza della piramide.

Ora vogliamo esprimere $ $dV $ (cioè il volume di una sezione sottilissima posta a una distanza $ $h $ dal vertice) in funzione di $ $h $ e $ $dh $

Esiste un teorema che dice che la sezione di una piramide con un piano parallelo alla sua base e che dista meno da essa meno dell'altezza è un poligono simile a quello della base; quindi il rapporto tra le loro aree è uguale al quadrato del rapporto delle distanze dal vertice della piramide dai loro piani.

Se $ $B $ è l'area di base, $ $b $ è l'area della sezione, $ $H_t $ l'altezza della piramide e $ $H $ la distanza della sezione dalla base (e quindi $ $H_t-H $ è la distanza della sezione dal vertice) abbiamo che: $ \displaystyle \frac{b}{B}=\frac{(H_t-H)^2}{H_t^2} $

Inoltre, siccome stiamo considerando una sezione sottilissima (il suo spessore $ $dh \rightarrow 0 $), il suo volume è approssimabile a quello di un prisma e quindi $ \displaystyle dV=b\cdot dh=\frac {B (H_t-H)^2}{H_t^2} dh $

Spero di essere stato chiaro...

si, grazie mille , mi mancava il teorema.. oppure non ci avevo pensato

Confermo pure io il risultato, che avevo ottenuto in modo un po' arzigogolato :P e confermo anche la provenienza, non mi andava di scrivere tutto quel problema in cui alla fine il succo è ciò che ho postato io

Ehm .... forse bastava ricordare la posizione del baricentro di una piramide?

BMcKmas ha scritto:Ehm .... forse bastava ricordare la posizione del baricentro di una piramide?

...quoto...