OliForum Matematico

Sia $ $P$ $ un punto arbitrario sul piano del triangolo $ $ABC$ $ con lati $ BC=a,\ CA=b,\ AB=c, $ e con $ PA=x,\ PB=y,\ PC=z $.
Dimostrare che

$ \displaystyle ayz+bzx+cxy\geq abc $

Con uguaglianza se e solo se $ $P$ $ è il circocentro di $ $ABC$ $

P.S. Ok è abbastanza nota.

Hint: x^2-x+1|2^(y-1)+(x-1)^2

$ $\frac{a_1+\sqrt{a_1a_2}+\dots+\sqrt[n]{a_1\dots a_n}}{n}\leq\sqrt[n]{a_1\frac {a_1+a_2}{2}\dots \frac{a_1+\dots+a_n}{n}}$ $

(Kiran Kedlaya)

Federiko ha scritto:dove l'ultima disuguaglianza è ottenuta per bunching perché $ \sum_{sym}a^2b\ge 6abc $.

$ $\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\dots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge 4 -4x_n$ $
E poichè al crescere di n $ x_n\rightarrow 0 $(altrimenti $ \sum x_i $, che è più debole, divergerebbe) risolvo la a)

E l'uguaglianza ce l'ho quando $ x_{i+1}=2^{-1}x_{i} $

Simpatica!

$ $(x_i-2x_{i+1})^2\geq0\rightarrow\frac{x_i^2}{x_{i+1}}\geq4x_i-4x_{i+1}$ $

Da cui la tesi

Il pranzo mi aveva annebbiato la vista editato

Beh allora dobbiamo dire anche che su questo pianeta nessuno stato ha un territorio tale da dividere la superficie in zone non connesse.

Avrebbè sennò troppa influenza su altri stati

nice!

Mostrare che \displaystyle \frac{1}{n\#} = \sum_{k \;\!\mid\;\! n\#} (-1)^{\omega(k)} \frac{\varphi(k)}{k} , per ogni n \in \mathbb{N}_0 := \{1, 2, \ldots\}

( Salvatore Tringali)

La dimostro per induzione:
(1)
Se $n=1$ è banalmente verificata l'uguaglianza []

(2)
Se vale per n-1 allora vale ...

Problema 18: Siano $ $x,y,z$ $ tre reali positivi tali che $ $xyz\geq 1$ $. Dimostrare che

$ $\[ \frac{ x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{5}-y^{2}}{x^{2}+y^{5}+z^{2}}+\frac{z^{5}-z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{5}}\geq 0 . \]$ $

:oops: rimedio.

Problema 17:
Se $y=-1$ $f(f(-1))=f(x)f(-1)+f(x)-1$ da cui, poichè $f(x)=a$ non è soluzione, ricavo $f(-1)=-1$ . []

Pongo $f(0)=b$ e sostituisco $y=0$
$f(x+b)=(b+1)f(x)$ da cui ottengo $b\neq-1$ e con x=-1-b $f(-1-b)=-\frac{1}{b+1}$
Poichè la funzione è debolmente crescente $-1 ...

Forse nel problema 17 manca qualcosa poichè se y=-1 ottengo $ f(f(-1))=f(x)f(-1)+f(x)-1 $ e il problema finisce

Beh non c'è nessun buon motivo per cui il risultato sia quello che hai scritto tu. Ad occhio la funzione cresce al crescere di k.

E comunque avresti potuto almeno spendere due righe in più per dire come ci arrivi.