Monotonia, estremi relativi e punti di non derivabilità
Ripensando.. corregetemi se sbaglio... un punto di non derivabilità può combaciare con un estremo.. quindi x=0 dovrebbe essere un estremo.. esattamente un estremo inferiore...Sosuke ha scritto:In $ x=0 $ la funzione non è derivabile... anche se però in $ x=0 $la funzione non esiste?
e poi.. ho provato a calcolare il limite destro con x che tende a 0 e a me risulta $ \ + inf $
Qui di seguito i calcoli:
$ $ lim_{x rightarrow 0^-} \frac {2(x+1)}{x^2 + 2x} = \ + inf $
con
$ x=0.5 $ -> $ $ lim = 2.4 $
$ x=0.1 $ -> $ $ lim = 10.47 $
$ x=0.01 $ -> $ $ lim = 100.49 $
Quindi questo dovrebbe essere un cuspide(lim sinistro =$ \ - inf $, lim destro =$ \ + inf $!!!!!
Un punto di non derivabilità può combaciare con un estremo relativo???
x=0 è anche un punto di estremo relativo?
Tenendo conto dei limiti il grafico dovrebbe essere all'incirca come segue
Immagine
Quindi... sperando di aver concluso l'esercizio (dopo 11 mesi
) con il vostro aiuto... giungo alla conclusione che c'è un estremo inferiore in x=0 e un cuspide... sempre in x=0.... Non dovrebbero esserci altri estremi o altri punti di non derivabilità.. spero...
esatto?
in x=0 non mi torna che ci sia una cuspide. Se non erro anche se non derivabile una funzione dovrebbe essere continua nella cuspide, mentre in 0 la tua funzione ha una discontinuita' di seconda specie che non e' eliminabile. Una cuspide dovrebbe essere in x=4 ove la derivata ha i limiti destro e sinistro diversi tra loro.
comunque si', un punto di non derivabilita' puo' essere un estremo (vedi l'esempio di ma_go, $ |x| $ in 0 non e' derivabile ma 0 e' un punto di minimo, assoluto in questo caso)
comunque si', un punto di non derivabilita' puo' essere un estremo (vedi l'esempio di ma_go, $ |x| $ in 0 non e' derivabile ma 0 e' un punto di minimo, assoluto in questo caso)
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Ehm scusate... in x=0... ho rifatto i calcoli... entrambi i limiti (destro e sinistro) tendono a $ \ - inf $
Ma poi quest'altra cosa è strana... come fa ad essere in quella maniera il grafico di una cuspide quando i limiti tendono a opposti infiniti????
Non riesco a capire da dove prendete voi x=4....
In x=4 la funzione esiste... e così anche la derivata compresa tra 0 e 4...
se in x=4 ci fosse un cuspide, non dovrebbe essere descresente per x<4>4 ???
e infine... se in x=0 la funzione non esiste, allora dovrebbe essere logico (penso) che in x=0 non esista neanche la derivata... è da considerarsi ugualmente punto di non derivabilità?
Ma poi quest'altra cosa è strana... come fa ad essere in quella maniera il grafico di una cuspide quando i limiti tendono a opposti infiniti????
Non riesco a capire da dove prendete voi x=4....
In x=4 la funzione esiste... e così anche la derivata compresa tra 0 e 4...
se in x=4 ci fosse un cuspide, non dovrebbe essere descresente per x<4>4 ???
e infine... se in x=0 la funzione non esiste, allora dovrebbe essere logico (penso) che in x=0 non esista neanche la derivata... è da considerarsi ugualmente punto di non derivabilità?
Ultima modifica di Sosuke il 07 ago 2006, 10:55, modificato 1 volta in totale.
uhm..
in $ x=4 $ c'è un punto angoloso (esistono diversi i limiti destro e sinistro dei rapporti incrementali)..
perché ci sia una cuspide, la funzione dev'essere continua in quel punto, e i limiti delle derivate devono essere $ \pm \infty $ (uguali), se non erro..
comunque, in $ 0 $ la funzione non è definita, quindi in particolare non è derivabile, quindi è un punto di non derivabilità...
in $ x=4 $ c'è un punto angoloso (esistono diversi i limiti destro e sinistro dei rapporti incrementali)..
perché ci sia una cuspide, la funzione dev'essere continua in quel punto, e i limiti delle derivate devono essere $ \pm \infty $ (uguali), se non erro..
comunque, in $ 0 $ la funzione non è definita, quindi in particolare non è derivabile, quindi è un punto di non derivabilità...
Ecco... avevo appena modificato il messaggio.. per la poco chiarezza della cuspide.. non sembra avere senso il fatto che i limiti devono essere opposti e poi il grafico essere in quella maniera.. eppure sul mio libro e su diversi siti internet ho trovato quella definizione e quel grafico!!!ma_go ha scritto:uhm..
in $ x=4 $ c'è un punto angoloso (esistono diversi i limiti destro e sinistro dei rapporti incrementali)..
perché ci sia una cuspide, la funzione dev'essere continua in quel punto, e i limiti delle derivate devono essere $ \pm \infty $ (uguali), se non erro..
comunque, in $ 0 $ la funzione non è definita, quindi in particolare non è derivabile, quindi è un punto di non derivabilità...
Per quanto riguarda x=4... lo devo considerare perchè in quel punto la derivata cambia??
e poi.. che razza di punto è x=0.. cuspide, flesso a tangente orizzontale??
Ho provato a fare il grafico della funzione e mi salta fuori come l'immagine che ho postato ieri... cosa normale visto che entrambi i limiti tendono a $ \ - inf $... cosa assurda la sua enorme somiglianza con la cuspide...
allora, chiariamoci..
$ \sqrt{|x|} $ ha una cuspide in $ 0 $, perché i limiti delle derivate sono quelli giusti (ovvero $ -\infty $ a sinistra, e $ +\infty $ a destra), e la funzione è continua.
$ -1/|x| $ è discontinua in $ 0 $, i limiti delle derivate sono come sopra, ma in $ 0 $ non ha una cuspide, ma ha un asintoto verticale...
la tua funzione, si comporta circa come $ -1/|x| $, quindi non ha una cuspide, ma un asintoto verticale...
poi, in generale, le cuspidi e i punti angolosi si hanno nei punti di non derivabilità, quindi devi considerare tutti e soli i punti di non derivabilità, ovvero $ 0 $ e $ 4 $.
$ \sqrt{|x|} $ ha una cuspide in $ 0 $, perché i limiti delle derivate sono quelli giusti (ovvero $ -\infty $ a sinistra, e $ +\infty $ a destra), e la funzione è continua.
$ -1/|x| $ è discontinua in $ 0 $, i limiti delle derivate sono come sopra, ma in $ 0 $ non ha una cuspide, ma ha un asintoto verticale...
la tua funzione, si comporta circa come $ -1/|x| $, quindi non ha una cuspide, ma un asintoto verticale...
poi, in generale, le cuspidi e i punti angolosi si hanno nei punti di non derivabilità, quindi devi considerare tutti e soli i punti di non derivabilità, ovvero $ 0 $ e $ 4 $.
Perfettamente.. cuspidi, punti angolosi e flessi a tangente verticale si trovano nei punti di discontinuità... 0 è uno di questi punti... ma quale?ma_go ha scritto: poi, in generale, le cuspidi e i punti angolosi si hanno nei punti di non derivabilità, quindi devi considerare tutti e soli i punti di non derivabilità, ovvero $ 0 $ e $ 4 $.
Escludiamo la cuspide perchè in x=0 la funzione non esiste... escludiamo anche i punti angolosi perchè i limiti non sono valori reali.. rimangono i flessi a tangente verticale (secondo cui i limiti devono essere infiniti e di egual segno.. come nel nostro caso...)
esatto?
dal De Marco:
Se in un punto x interno al dominio della funzione esistono finite entrambe le derivate destre e sinistre e sono fra loro diverse, si dice che quel punto e' angoloso
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