Il gioco delle monete

[Cammy87]

Vi propongo questo esercizio che ho trovato molto carino.

Due amici, Alex e Bobo (i nomi sono importantissimi ai fini del problema mi raccomando! ) fanno il seguente gioco.
Ognuno dei due può scegliere se tenere in mano una o due monete di egual valore, senza farla vedere all'altro, poi entrambi le posano sul tavolo contemporaneamente: se il numero delle monete sul tavolo è pari le prende Alex, altrimenti le prende Bobo. Dopodichè prendono altre monete e ripetono la stessa operazione più volte.
Determinare se uno dei due giocatori ha una strategia vincente.

P.S. Per strategia vincente intendo, in questo caso, una strategia che permette ad uno dei due giocatori di avere un guadagno medio maggiore di quello dell'altro indipendentemente dalla strategia adottata da quest'ultimo.

Spero di essere stato chiaro, in caso contrario chiedete (e non snobbatelo come avete fatto con "la stanza" )
Ancora un'ultima cosa:
In bocca al lupo tutti quelli che domani partono per Cesenatico!!!!

[julio14]

Potrebbe essere un immane boiata, in quanto Alex ha un cervello e non gioca a caso, ma se Bobo gioca sempre una moneta (e Alex si beve il cervello) il 50% delle volte vincerà due monete, il 50% ne perderà una sola.

[Cammy87]

Ma Alex non si beve il cervello! Se si accorge che l'altro gioca sempre la stessa moneta iniziera' a giocare la moneta che gli da la vittoria!
Bisogna trovare una strategia che funziona indipendentemente da quella dell'avversario.

[Cammy87]

Un piccolo hint:

Considerare la vincita media di ciascun giocatore, intesa come vincita per probabilita' di vincere, e guardare quale dei due giocatori ha una stategia per rendere la sua vincita media maggiore di quella dell'avversario indipendentemente dalla strategia di quest'ultimo.

[MateCa]

Mah, forse non ho capito bene...
Io direi che in fondo ogni "round" è indipendente dagli altri, quindi come si può elaborare una staregia? E' come chiedere se esiste una strategia vincente in sasso-carta-forbice o in pari-o-dispari...Forse mi sfugge qualcosa

[Cammy87]

Molto probabilmente non mi sono spiegato bene...
E' vero i round sono indipendenti l'uno dall'altro quindi non si puo' sviluppare una strategia che permette di vincere sempre. Si puo' pero' sviluppare una strategia di gioco che permette alla lunga di essere in vantaggio. Cioe' fare in modo che il guadagno medio di un giocatore dopo n mani sia superiore a quello dell'altro. Poi potra' sempre capitare il caso "sfortunato", in cui vince sempre l'altro, ma il primo avra' comunque una probabilita' maggiore di essere in guadagno rispetto al secondo.

Provo a fare un esempio: se Alex sceglie di giocare sempre il 2, il guadagno medio dipende da cosa decide di fare Bobo. Se gioca sempre una volta 1 e una volta 2, alternati, sara' Alex ad essere vincente perche' ogni 2 round guadagna 4 euro, mentre Bobo soltanto 3. Ma se Bobo decide di giocare due volte 1 e una volta 2, sara' lui ad essere in vantaggio.
Quello che chiedo e' di determinare una strategia di gioco che permetta ad uno dei due di essere in vantaggio indipendentemente dalla strategia dell'altro.

Spero di essere stato un po' piu' chiaro stavolta.

[julio14]

Io avevo pensato all'uso di un dado, per cui all'altro conveniva mettere sempre 1 o sempre 2, ma qualunque delle due strategie scegliesse risultava, in media, perdente. Non so se sono stato chiaro, ma in ogni caso non ho trovato chi dei due debba usare il dado nè che tipo di dado, in ogni tentativo l'altro ha sempre un'opzione vincente.

[pic88]

Vince Alex. Infatti, c'è uguale probabilità che esca pari o dispari, ma alex può vincere 2 o 4, bobo 1 o 3.

[julio14]

bobo 1 o 3.

Scusa ma bobo non vince sempre 3?

[Cammy87]

bobo 1 o 3.

Scusa ma bobo non vince sempre 3?

Sì vince sempre 3, quando lui gioca 1 e Alex 2 e viceversa.

in ogni tentativo l'altro ha sempre un'opzione vincente.

E' vero che ad ogni tentativo l'altro ha sempre un' opzione vincente, ma esiste una strategia che permette ad uno dei due di far aumentare le sue probabilità di successo. Poi chiaramente se il suo avversario fosse talmente fortunato da fare ogni volta la mossa giusta, vincerebbe comunque.
Faccio un esempio. Abbiamo un'urna con le palline numerate da 1 a 5 e se ne estrae una: se è pari vince A se è dispari vince B. Chiaramente B ha più probabilità di successo di A, però può sempre succedere che esca solo il 2.
Nel nostro caso invece il gioco sembra perfettamente equilibrato, ma in realtà non lo è perchè uno dei due giocatori ha la possibilità di fare un strategia che fa aumentare le sue probabilità di vincita, indipendentemente dalla strategia dell'altro.

Forse mi sono espresso male quando ho parlato di strategia vincente, perchè non si tratta propriamente di una strategia che garantisce la vittoria, sorry!

[julio14]

in ogni tentativo l'altro ha sempre un'opzione vincente.

E' vero che ad ogni tentativo l'altro ha sempre un' opzione vincente, ma esiste una strategia che permette ad uno dei due di far aumentare le sue probabilità di successo.

Io intendevo che con la strategia del dado, nei tentativi che ho fatto io, quello che non usa il dado ha sempre un tra le sue due opzioni (1 o 2 monete) che gli è conveniente, tenendo conto delle probabilità del dado dell'altro. Cioè può scegliere una delle due mosse che, ripetuta, darà in media un risultato positivo.
Come funziona il gioco lo avevo capito, e quella del dado era l'unica possibilità che mi era venuta in mente. Però a ripensarci non credo che possa funzionare.

[Cammy87]

Ok!
Scusa ma avevo frainteso il tuo messaggio...
Comunque quella che indicavi non è la strategia corretta, ritenta!

[julio14]

Comunque quella che indicavi non è la strategia corretta, ritenta!

Per quanto ci pensi mi viene in mente soltanto quello . Ma non così per caso: la strategia non dev'essere prevedibile, altrimenti l'altro vince sempre, quindi dev'essere casuale, ma non totalmente, perchè se no si è comunque in pari, quindi bisogna sfruttare le probabilità, e il dado di n facce e due colori mi sembra l'unico modo.

[MateCa]

Ci provo io.
Allora, in qualsiasi modo ciascun giocatore scelga se prendere una o due monete, ha comunque il 50% di probabilità di vincere quel "round". Questo direi che è fuori discussione.
Ora, siccome il giocatore che vince con i numeri pari prende le monete se la somma è 2 o 4, a lui converrà giocare 2 monete per per avere la possibilità di vincerne 4 (se anche l'altro gioca 2 monete, altrimenti se ne gioca una vince il giocatore dispari).
Il giocatore che vince con i numeri dispari può vincere solo con 3, ma gli converrà giocare 1 moneta in modo che l'altro giocatore, qualsiasi giocata faccia, non possa mai vincere 4 monete.
Di conseguenza è comprensibile aspettarsi che al primo "round" il giocatore pari giochi 2 monete e il dispari 1; di conseguenza vince il giocatore dispari che intasca 3 monete...
Giunti a questo punto il giocatore che deve cambiare strategia è il giocatore pari, che dovrà accontentarsi di intascare due monete giocando al secondo "round" 1 moneta, mentre il giocatore dispari continua la sua strategia giocandone anche lui 1. Quindi il giocatore pari intasca due monete (punteggio parziale di 3 a 2 per il giocatore dispari).
Ora è il dispari che deve cambiare strategia, giocando 2 monete; quindi al terzo "round" il totale è di 3 monete (2 per il giocatore dispari e 1 per il giocatore pari). Il conteggio complessivo è di 6 a 2 per il giocatore dispari.
Infine è di nuovo il pari che cambia strategia giocando 2 monete. Il quarto "round" quindi vede entrambi i giocatori giocare 2 monete, e quindi vince il giocatotre pari che intasca 4 monete. Situazione totale di parità: 6 a 6.

A questo punto il gioco riprende dall'inizio (se i giocatori continuano a giocare logicamente ). Di conseguenza è il giocatore dispari ad avere la strategia vincente: deve interrompere il gioco dopo un numero di "round" pari a 3mod4 per avere la vincita massima, o comunque anche dopo un numero di round 1mod4 o 2mod4 per avere una vincità più modesta. Il giocatore pari non è mai in vantaggio...

Altre considerazioni non mi vengono e mi rendo ben conto che tutta la mia partita si basa su supposizioni, ma non ho altre idee...
C'è qualcosa di buono?

[Cammy87]

Dunque... mi dispiace, ma non è la soluzione giusta, perchè il giocatore dispari è in vantaggio a patto che il giocatore pari utilizzi quella strategia di gioco, ma con un'altra strategia potrebbe vincere lui. Comunque il ragionamento non è niente male, ma manca ancora qualcosa...
Do ancora un altro suggerimento, per aiutare a formalizzare un po' il problema. Imbianco per chi non volesse leggere.

Supponiamo che la strategia di A sia di giocare una moneta n volte su m round. Quindi ad ogni round la probabilità che A giochi una moneta è p=n/m, e la probabilità che giochi due monete è 1-p.
Supponiamo lo stesso per B, cioè che giochi una moneta n' volte su m' round, e chiamiamo q=n'/m' la probabilità che B giochi una moneta.
Si tratta a questo punto di calcolare la vincita media (probabilità di vincita per vincita) di A e B e vedere se uno dei due ha la possibilità di rendere la sua vincita media maggiore di quella dell'avversario indipendentemente dalla tattica scelta da quest'ultimo...

P.S. Il 100mo messaggio!