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In un quadrato di lato unitario sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri è $ 10 $. Dimostrare che le circonferenze date sono almeno $ 4 $ e che esiste una retta che ne interseca almeno $ 4 $.

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n°4 in tutti i sensi..

già che ci sono posto la soluzione al punto 1 che è semplice:
supponiamo per assurdo che le circonferenze siano 3 o meno. Ciò significa che almeno una circonferenza è $ \ge \frac {10} 3 $, ovvero che il raggio è $ \ge \frac{10}{6\pi}>\frac 1 2 $, assurdo

A mio parere però sarebbe da dimostrare anche che una circonferenza contenuta nel quadrato deve avere il raggio minore o uguale a $ 1/2 $.

FeddyStra ha scritto:A mio parere però sarebbe da dimostrare anche che una circonferenza contenuta nel quadrato deve avere il raggio minore o uguale a $ 1/2 $.

prendiamo una circonferenza con raggio maggiore di 1/2. Consideriamo il diametro della circonferenza parallelo ad uno dei lati del quadrato. visto che il diametro è maggiore di 1, cioè del lato del quadrato, esisterà una porzione del diametro non contenuto nel quadrato, e pertanto la circonferenza non può essere contenuta nel quadrato.
quindi la circonferenza deve avere raggio minore o uguale a 1/2
come prova, prendiamo la circonferenza con centro nel centro del quadrato e con raggio 1/2: sarà contenuta interamente nel quadrato. prendiamo ora una circonferenza concentrica a quella considerata prima, ma con raggio minore ad 1/2: sarà contenuta interamente nella circonferenza di raggio 1/2, e quindi nel quadrato..

FeddyStra ha scritto:A mio parere però sarebbe da dimostrare anche che una circonferenza contenuta nel quadrato deve avere il raggio minore o uguale a $ 1/2 $.

se ci fosse tibor gallai direbbe che questo è un fatto auto-evidente

Neanch'io lo reputo un problema del millennio! Semplicemente, sono dell'idea che se uno omette di menzionarlo (e magari motivarlo un po' decentemente), forse rischia di giocarsi qualche punto.