OliForum Matematico

Ciao, Claudio :wink:

Banale o no, se troviamo un numero \;m\; che soddisfa questa
proprietà, anche tutti i numeri che si ottengono affiancando
quanti \;m\; vogliamo (cioè così \;mmmm\cdot\cdot\cdot ) hanno la stessa
proprietà.
Si vede facilmente che non esistono numeri di due o tre cifre
che ...

Bella risoluzione, Karl

Ti ho lasciato un emmepì

Giusto :D

Una semplice variante di calcolo.
Pongo subito:


\left\{\begin{array}& (9n+1)\cdot 4 = p^2 \\& (4n+9)\cdot 9 = q^2\end{array}\Longrightarrow $\left\{\begin{array}& 36n+4 = p^2 \\& 36n+81 = q^2\end{array}\Longrightarrow q^2-p^2 = (q-p)(q+p) = 1\cdot 77 = 7\cdot 11


Poiché l'influenza ...

Non c'è alcun dubbio, Ponnamperuma :D
Ma con quelle forme, scritte così, non si
arriva alla semplice proprietà proposta
da Lelletto:
\displaystyle \small {\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot 7+2\cdot 5+3\cdot 3+4 ...

lelletto2000 ha scritto:Provare per credere.

Proverei direttamente questo:

1 = 1²
1+3 = 2²
1+3+5 = 3²
1+3+5+7 = 4²
.
.
.
1+3+5+7+9+...+(2n-1) = n²
________________________

1·n+3·(n-1)+5·(n-2)+7·(n-3)+...+(2i-1)·[n-(i-1)]+...+(2n-1)·1 = $ \sum_{i=1}^n i^2 $.

Il fatto che:

5 > \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}

è vero poiché:

5\cdot (5^{n-1}+3^{n-1}) > 5^n+3^n

cioè:

5^n+5\cdot 3^{n-1} > 5^n+3\cdot 3^{n-1}

quindi:

5 > 3 .

Per l'altra parte della limitazione, invece,
abbiamo successivamente:

\frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}>3

5^n+3^n > 3 ...

Il primo passaggio, Sherlock, si verifica
abbastanza velocemente. Infatti, basta
che moltiplichi per il denominatore della
frazione i tre membri di quella limitazione
per vedere che arrivi comunque a 5>3

Sì, il tuo risultato è giusto, Sherlock
(nell'ultima parte hai solo invertito le
variabili rispetto ai valori).

Si potrebbe anche procedere così.

Innanzitutto, scopriamo che:

\displaystyle 5>\frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}>3 .

ciò che equivale a dire che 5>3 .

L'unico caso possibile, quindi ...

Ciao a tutti :D

Sono di corsa e, soprattutto, non sono
un esperto.

Penso però che le soluzioni viste sopra
possano essere rese un po' più 'compatte'.
Per esempio, così:

3\cdot [\frac{n+1}{2}]+(-1)^n
6\cdot [\frac{n+1}{2}]+(-1)^n

dove [x] è la funzione parte intera di x ,
la quale restituisce ...

Ottimo, Elianto
Questa uguaglianza si può anche
provare passando attraverso Erone
e AM-GM, ottenendo:

$ \left(\frac{p}{3}\right)^{\small 3} = (p-a)(p-b)(p-c) = \frac{abc}{8} $

dove a, b e c sono i lati del triangolo.

Quali triangoli soddisfano questa uguaglianza:

$ \frac{p^4}{S^2}=3^3 $ ?

Naturalmente, p è il semiperimetro ed S è l'area.

NON ritengo d'esser un esperto e ho quattro minuti
di tempo, quindi ecco la mia proposta:

$ 16^n\cdot 4+3^n\cdot 9 = (16^n-3^n)\cdot 4 +3^n\cdot 13 $

Come ha scritto Marco in un altro suo post,
io sono un lurker , un po' perché ho poco
tempo e poi perché non ho la sveltezza e l'abilità
degli "olimpici".

Tuttavia ho seguito questo post con attenzione,
anche perché gli interventi di Katerina, in un certo
senso, mi piacevano (strada facendo) e ho ...

Ottimo, pi_greco_quadro!
In realtà, avevo pensato altre cose più
"svelte" di quella che ho proposto, però
ho voluto lo stesso farmi una "passeggiata"
nel problema di quel tipo.
So che qui siete tutti bravi e spidispidi e mi
piace molto leggere le vostre soluzioni, ma
quando rispondo (quando trovo ...

...a buon intenditor, poche parole
Bella soluzione!