Radici di numeri complessi

[spugna]

Penso che tutti voi sappiate che per ogni numero reale $ a>0 $, esistono due numeri reali che elevati al quadrato danno come risultato $ a $ ($ +\sqrt{a} $ e $ -\sqrt{a} $),ma con la scrittura $ \sqrt{a} $ si intende solo quello positivo.

Ora ragioniamo nell'ambito dei numeri complessi e prendiamo,per esempio,il numero $ 8i $. Esistono tre numeri che elevati al cubo danno come risultato $ 8i $ ($ -2i $, $ i+\sqrt{3} $ e $ i-\sqrt{3} $). Ma con la scrittura $ \sqrt[3]{8i} $ quale si intende?

[Tibor Gallai]

Per ogni z complesso diverso da 0 esistono esattamente n numeri complessi che elevati alla n danno z. Noi vorremmo però definire la radice n-esima complessa come una funzione, alla stregua di quello che si fa coi reali, con la cosiddetta "radice principale". Vorremmo anche che tra radici n-esime ed operazioni aritmetiche valgano certe proprietà, tipo distributività rispetto al prodotto, etc.

Qui proposi un modo per ottenere qualcosa del genere, non so se abbia effetti collaterali ma di primo acchito sembra molto ragionevole:
viewtopic.php?t=13304

In sostanza: invece di considerare numeri complessi, considera insiemi di numeri complessi. Fare un'operazione * tra due insiemi A e B significa prendere l'insieme di tutti gli a*b, con a in A e b in B.
Esempio: {1, 3i} + {-1, 0, -1+3i} = {0, 1, 3i, -1+3i, -1+6i}.
La radice n-esima di un insieme A è l'insieme dei complessi che elevati alla n danno un elemento di A. Nota che non è vero che la radice è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, un po' come accade con la radice principale per i reali...

[Nonno Bassotto]

Al di fuori della proposta di Tibor, la convenzione usuale è che una scrittura come

$ \sqrt[3]{8i} $

non vuol dire nulla e non si usa.

[spugna]

Al di fuori della proposta di Tibor, la convenzione usuale è che una scrittura come

$ \sqrt[3]{8i} $

non vuol dire nulla e non si usa.

Su wikipedia c'era scritta questa formula:
$ \sqrt{i}=\dfrac{i+1}{\sqrt{2}} $

E' wikipedia che scrive minc****e oppure il discorso cambia a seconda che l'indice sia pari o dispari?

[Nonno Bassotto]

La wikipedia italiana scrive un sacco di minchiate di matematica. Ciò detto, io ho solo detto che la convenzione usuale è di non usare quel simbolo. Se è chiaro dal contesto, quella scrittura potrebbe essere stata usata semplicemente per indicare una delle due radici.

[Tibor Gallai]

spugna, magari ti eri perso qualcosa.
Provvedo subito ad aggiornarti:

viewtopic.php?p=65715#65715
viewtopic.php?p=115157#115157
viewtopic.php?p=105397#105397
viewtopic.php?p=113356#113356
viewtopic.php?p=111868#111868
viewtopic.php?p=90530#90530
viewtopic.php?p=116570#116570
viewtopic.php?p=112519#112519
viewtopic.php?p=107493#107493
viewtopic.php?p=118325#118325

[fph]

La wikipedia italiana scrive un sacco di minchiate di matematica.

Già. Ci sono argomenti che è meglio siano scritti una volta sola bene, piuttosto che tradotti male inutilmente in tante inutili piccole lingue.

[Nonno Bassotto]

[SkZ]

spugna il fatto e', poi, che con la radice quadra il discorso e' banale
$ $z\in\mathbb{C}\;k\in\mathbb{Z}\quad \sqrt{z}=(re^{i(\theta+2k\pi)})^{1/2}=\sqrt{r}\exp{i(\frac{\theta}{2}+k\pi)}=\sqrt{r}\exp{(i\frac{\theta}{2})}\cdot\exp{(ik\pi)} $
e l'ultimo termine e' 1 o -1, ergo l'uso e' piu' facile. Cambia l'esponente e diventa tutto ingestibile

[Nonno Bassotto]

Traduco quello che ha detto SkZ: se una radice quadrata del numero z è x, l'altra è -x.