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Radici di numeri complessi
Inviato: 27 gen 2010, 12:21
da spugna
Penso che tutti voi sappiate che per ogni numero reale $ a>0 $, esistono due numeri reali che elevati al quadrato danno come risultato $ a $ ($ +\sqrt{a} $ e $ -\sqrt{a} $),ma con la scrittura $ \sqrt{a} $ si intende solo quello positivo.
Ora ragioniamo nell'ambito dei numeri complessi e prendiamo,per esempio,il numero $ 8i $. Esistono tre numeri che elevati al cubo danno come risultato $ 8i $ ($ -2i $, $ i+\sqrt{3} $ e $ i-\sqrt{3} $). Ma con la scrittura $ \sqrt[3]{8i} $ quale si intende?
Inviato: 27 gen 2010, 12:42
da Tibor Gallai
Per ogni z complesso diverso da 0 esistono esattamente n numeri complessi che elevati alla n danno z. Noi vorremmo però definire la radice n-esima complessa come una funzione, alla stregua di quello che si fa coi reali, con la cosiddetta "radice principale". Vorremmo anche che tra radici n-esime ed operazioni aritmetiche valgano certe proprietà, tipo distributività rispetto al prodotto, etc.
Qui proposi un modo per ottenere qualcosa del genere, non so se abbia effetti collaterali ma di primo acchito sembra molto ragionevole:
viewtopic.php?t=13304
In sostanza: invece di considerare numeri complessi, considera insiemi di numeri complessi. Fare un'operazione * tra due insiemi A e B significa prendere l'insieme di tutti gli a*b, con a in A e b in B.
Esempio: {1, 3i} + {-1, 0, -1+3i} = {0, 1, 3i, -1+3i, -1+6i}.
La radice n-esima di un insieme A è l'insieme dei complessi che elevati alla n danno un elemento di A. Nota che non è vero che la radice è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, un po' come accade con la radice principale per i reali...
Inviato: 27 gen 2010, 13:14
da Nonno Bassotto
Al di fuori della proposta di Tibor, la convenzione usuale è che una scrittura come
$ \sqrt[3]{8i} $
non vuol dire nulla e non si usa.
Inviato: 27 gen 2010, 14:43
da spugna
Nonno Bassotto ha scritto:Al di fuori della proposta di Tibor, la convenzione usuale è che una scrittura come
$ \sqrt[3]{8i} $
non vuol dire nulla e non si usa.
Su wikipedia c'era scritta questa formula:
$ \sqrt{i}=\dfrac{i+1}{\sqrt{2}} $
E' wikipedia che scrive minc****e oppure il discorso cambia a seconda che l'indice sia pari o dispari?
Inviato: 27 gen 2010, 14:53
da Nonno Bassotto
La wikipedia italiana scrive un sacco di minchiate di matematica. Ciò detto, io ho solo detto che la convenzione usuale è di non usare quel simbolo. Se è chiaro dal contesto, quella scrittura potrebbe essere stata usata semplicemente per indicare una delle due radici.
Inviato: 27 gen 2010, 16:13
da Tibor Gallai
Inviato: 27 gen 2010, 18:17
da fph
Nonno Bassotto ha scritto:La wikipedia italiana scrive un sacco di minchiate di matematica.
Già. Ci sono argomenti che è meglio siano scritti una volta sola bene, piuttosto che tradotti male inutilmente
in tante inutili piccole lingue.
Inviato: 27 gen 2010, 19:22
da Nonno Bassotto
Inviato: 28 gen 2010, 02:08
da SkZ
spugna il fatto e', poi, che con la radice quadra il discorso e' banale
$ $z\in\mathbb{C}\;k\in\mathbb{Z}\quad \sqrt{z}=(re^{i(\theta+2k\pi)})^{1/2}=\sqrt{r}\exp{i(\frac{\theta}{2}+k\pi)}=\sqrt{r}\exp{(i\frac{\theta}{2})}\cdot\exp{(ik\pi)} $
e l'ultimo termine e' 1 o -1, ergo l'uso e' piu' facile. Cambia l'esponente e diventa tutto ingestibile
Inviato: 28 gen 2010, 02:24
da Nonno Bassotto
Traduco quello che ha detto SkZ: se una radice quadrata del numero z è x, l'altra è -x.
